事实上，数学家们在研究黎曼猜想的过程中所取得的早期成果之一，就直接导致了有关素数分布的一个重要命题——素数定理的证明。
而素数定理在被证明之前，本身也是一个有着一百多年历史的重要猜想。
最后，黎曼猜想从某种意义上已经超越了数学的范畴。
二十世纪七十年代初，人们便发现与黎曼猜想有关的某些研究，居然跟某些非常复杂的物理现象有着显著关联。
这种关联的原因直到今天也还是一个谜。
但它的存在本身，无疑就进一步增加了黎曼猜想的重要性。
正因为如此，黎曼猜想诞生一百多年以来，吸引了无数数学家前去攀登。
这些努力虽然迄今未能取得完全成功，但是在这过程中却也取得了一些阶段性成果。
其中第一个阶段性成果出现在黎曼猜想问世三十七年后的1896年。
黎曼ζ函数的非平凡零点，容易证明的结果只有一个，那就是它们都分布在一个带状区域上。
法国数学家哈达玛和比利时数学家普森，彼此通过独立手段将那个带状区域的边界剔除掉了。
也就是说，黎曼ζ函数的非平凡零点只分布在那个带状区域的内部，而不包括边界。
这个成果粗看起来似乎微不足道，一个带状区域的边界跟它的内部相比，从面积上讲比例实际上是零。
但它对于研究黎曼猜想来说只是一小步，对于研究另一个数学猜想来说却是巨大的飞跃，因为它直接导致了后者的证明。
那个数学猜想如今已被称为素数定理，它所描述的是素数的大范围分布规律。
素数定理自被提出以来悬而未决已超过一百年，在当时乃是一个比黎曼猜想更令数学界期待的东西。
在上述成果之后又隔了十八年，1914 年，丹麦数学家玻尔与德国数学家兰道取得了另一个阶段性成果，那就是证明了黎曼ζ函数的非平凡零点倾向于“紧密团结”在临界线的周围。
这个结果用数学语言来说，就是包含临界线的无论多么窄的带状区域都包含了黎曼ζ函数的几乎所有的非平凡零点。
不过“紧密团结”归“紧密团结”，这一结果却不足以证明任何一个零点恰好就在临界线上，因此它距离黎曼猜想的要求仍然相差很远。
但就在那同一年，另一个阶段性成果出现了：英国数学家哈代终于将“红旗”插上了临界线——他证明了
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