第三题：
【对于实数T>0，称欧氏平面R^2的子集Γ为T-稠密的，如果对任意v∈R^2，存在w∈Γ满足||v-w||≤T，设2阶整方阵A∈M2满足det(A)≠0.
（1）假设tr(A)=0，证明存在C>0，使得对任意正整数n，集合A^nZ^2:={A^nv:v∈Z^2}
（2）假设A的特征多项式在有理数域上不可约，证明与（1）相同的结论。】
“果然！”
看完题目，陈辉心中大定，终于不会认为自己考了个假的竞赛了。
如果说前面两道题是送分题，让参赛的选手不至于拿了0分回去，那么第三题就有点意思了。
这是一道线性代数高等代数相关的问题。
这道题本质上是在问，当某一个线性映射A反复作用于整点的这些点的时候，这些整点构成的网格会不断的变化，求问平面上的点到网格当中某一个点的最近的距离，大概会以什么样的量级变化。
题目要求证明的，就是当你反复迭代了n次，这个量级大概是A的行列式的2的n次方。
毫无疑问，这道题是有难度的。
但只要参赛者对线性映射的几何结构有一个清晰的理解，同时能够熟练的使用化零多项式定理，再能够利用数论中类似裴蜀定理，pA^(n+1)+qA^n这样的形式表达出离格点最近的距离，再把它跟A的n次方的行列式联系起来，这道题也就做出来了。
足足用了十五分钟，陈辉才完成了两问的证明。
终于不再是一眼就能看出答案的题目了！
轻呼口气，陈辉看向第四题。
这时，大地网咖的门帘掀开，安成章探头探脑的从外面走了进来。
虽然他今年已经四十六了，但进网吧，倒还真是第一次，人进入不熟悉的地方，难免会有些不自在。
前台小妹妹扫了他一眼后便收回视线，继续刷自己的逗音。
幸好陈辉他们坐得离门口并不太远，只是扫视了一圈，安成章就找到了两人。
看到两人的刹那，他当真是气不打一处来，恨不得好好的教训李海一顿。
陈辉多好的孩子！
带着滔天的怒火快步向两人走去。
一把游戏获胜，还是用VN上单拿到了胜利，李海心情很是不错，停在结算画面，偏头看向旁边陈辉的屏幕。
“？”
…。。